数学必修一知识点1
两个平面的位置关系:
(1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点
(2)两个平面的位置关系:
两个平面平行—–没有公共点;两个平面相交—–有一条公共直线。
a、平行
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。
b、相交
二面角
(1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°,180°]
(3)二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直
两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为⊥
两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)多面体
棱柱
棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质
(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形
棱锥
棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥
棱锥的性质:
(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形
(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正棱锥
正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质:
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
(3)多个特殊的直角三角形
esp:
a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
数学必修一知识点2
一:函数模型及其应用
本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是:
(1)阅读并且理解题意。(关键是数据、字母的实际意义);
(2)设量建模;
(3)求解函数模型;
(4)简要回答实际问题。
常见考法:
本节知识在段考和高考中考查的形式多样,频率较高,选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题,属于拔高题,难度较大。
误区提醒:
1、求解应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型。
【典型例题】
例1:
(1)某种储蓄的月利率是0。36%,今存入本金100元,求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(不计复利)。
(2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2。25%,试计算5期后的本利和是多少?解:(1)利息=本金×月利率×月数。y=100+100×0。36%·x=100+0。36x,当x=5时,y=101。8,∴5个月后的本息和为101。8元。
例2:
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能是企业获得利润,其利润约为多少万元。(精确到1万元)。
数学必修一知识点3
一、函数的单调性
1、函数单调性的定义
2、函数单调性的判断和证明:(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法
二、函数的奇偶性和周期性
1、函数的奇偶性和周期性的定义
2、函数的奇偶性的判定和证明方法
3、函数的周期性的判定方法
三、函数的图象
1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法
2、图象变换包括图象:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
常见考法
本节是段考和高考必不可少的考查内容,是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有,并且题目难度较大。在解答题中,它可以和高中数学的每一章联合考查,多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。
误区提醒
1、求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
2、单调区间必须用区间来表示,不能用集合或不等式,单调区间一般写成开区间,不必考虑端点问题。
3、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接,只能用逗号隔开。
4、判断函数的奇偶性,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数。
5、作函数的图象,一般是首先化简解析式,然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。
数学必修一知识点4
一、集合及其表示
1、集合的含义:
“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和这个意思是一样的,只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集,其中每一个对象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同学就构成了一个集合,每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示
通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素,如集合A={a,b,c}。a、b、c就是集合A中的元素,记作a∈A,相反,d不属于集合A,记作d?A。
有一些特殊的集合需要记忆:
非负整数集(即自然数集)N正整数集N_或N+
整数集Z有理数集Q实数集R
集合的表示方法:列举法与描述法。
①列举法:{a,b,c……}
②描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来。如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1}
③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是数组元素(x,y),集合B中只有元素y。
3、集合的三个特性
(1)无序性
指集合中的元素排列没有顺序,如集合A={1,2},集合B={2,1},则集合A=B。
例题:集合A={1,2},B={a,b},若A=B,求a、b的值。
解:,A=B
注意:该题有两组解。
(2)互异性
指集合中的元素不能重复,A={2,2}只能表示为{2}
(3)确定性
集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确,不允许有模棱两可、含混不清的情况。
数学必修一知识点5
1.函数知识:基本初等函数性质的考查,以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。
2.向量知识:向量具有数与形的双重性,高考中向量试题的命题趋向:考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。
3.不等式知识:突出工具性,淡化独立性,突出解,是不等式命题的新取向。高考中不等式试题的命题趋向:基本的线性规划问题为必考内容,不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来,考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题,多以函数、数列、解析几何等知识为背景,在知识网络的交汇处命题,综合性强,能力要求高;解不等式的试题,往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点,主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。
4.立体几何知识:2016年已经变得简单,2022年难度依然不大,基本的三视图的考查难点不大,以及球与几何体的组合体,涉及切,接的问题,线面垂直、平行位置关系的考查,已经线面角,面面角和几何体的体积计算等问题,都是重点考查内容。
5.解析几何知识:小题主要涉及圆锥曲线方程,和直线与圆的位置关系,以及圆锥曲线几何性质的考查,极坐标下的解析几何知识,解答题主要考查直线和圆的知识,直线与圆锥曲线的知识,涉及圆锥曲线方程,直线与圆锥曲线方程联立,定点,定值,范围的考查,考试的难度降低。
6.导数知识:导数的考查还是以理科19题,文科20题的形式给出,从常见函数入手,导数工具作用(切线和单调性)的考查,综合性强,能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起,考查转化与化归能力,但今年的难点整体偏低。
7.开放型创新题:答案不,或是逻辑推理题,以及解答题中的开放型试题的考查,都是重点,理科13,文科14题。
数学必修一知识点6
一、集合有关概念
1、集合的含义
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3、集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:XKb1、Com
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集:Nx或N+
整数集:Z
有理数集:Q
实数集:R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x?R|x—3>2},{x|x—3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1、“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2、“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2—1=0}B={—1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果A?B,B?C,那么A?C
④如果A?B同时B?A那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
4、子集个数:
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n—1个真子集,含有2n—1个非空子集,含有2n—1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集、记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}、
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集、记作:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB})、
数学的学习方法
1、养成良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法,学好高中数学,需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
数学一元二次方程知识点
(1)一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只含有一个未知数;
②未知数的最高次数是2;
③是整式方程。
(2)一元二次方程的一般形式
一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)、
其中,ax2是二次项,a是二次项系数;
bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
(3)一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
数学必修一知识点7
集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
A?①任何一个集合是它本身的子集。A
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)?B,且A?②真子集:如果A
C?C,那么A?B,B?③如果A
A那么A=B?B同时B?④如果A
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
A}?S且x?x?记作:CSA即CSA={x
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
数学必修一知识点8
⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列,那么,它的前n项和公式是S=
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q=1处。因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q=1和q≠1进行讨论。
⑵当已知a,q,n时,用公式S=;当已知a,q,a时,用公式S=。
⑶若S是以q为公比的等比数列,则有S=S+qS。⑵
⑷若数列{a}为等比数列,则S,S—S,S—S,…仍然成等比数列。
⑸若项数为3n的等比数列(q≠—1)前n项和与前n项积分别为S与T,次n项和与次n项积分别为S与T,最后n项和与n项积分别为S与T,则S,S,S成等比数列,T,T,T亦成等比数列
万能公式:sin2α=2tanα/(1+tan^2α)(注:tan^2α是指tan平方α)
cos2α=(1—tan^2α)/(1+tan^2α)tan2α=2tanα/(1—tan^2α)
升幂公式:1+cosα=2cos^2(α/2)1—cosα=2sin^2(α/2)1±sinα=(sin(α/2)±cos(α/2))^2
降幂公式:cos^2α=(1+cos2α)/2sin^2α=(1—cos2α)/21)sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα,cot(2kπ+α)=cotα,其中k∈Z;
(2)sin(—α)=—sinα,cos(—α)=cosα,tan(—α)=—tanα,cot(—α)=—cotα
(3)sin(π+α)=—sinα,cos(π+α)=—cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα
(4)sin(π—α)=sinα,cos(π—α)=—cosα,tan(π—α)=—tanα,cot(π—α)=—cotα
(5)sin(π/2—α)=cosα,cos(π/2—α)=sinα,tan(π/2—α)=cotα,cot(π/2—α)=tanα
(6)sin(π/2+α)=cosα,cos(π/2+α)=—sinα,
tan(π/2+α)=—cotα,cot(π/2+α)=—tanα
(7)sin(3π/2+α)=—cosα,cos(3π/2+α)=sinα,
tan(3π/2+α)=—cotα,cot(3π/2+α)=—tanα
(8)sin(3π/2—α)=—cosα,cos(3π/2—α)=—sinα,
tan(3π/2—α)=cotα,cot(3π/2—α)=tanα(k·π/2±α),其中k∈Z
注意:为方便做题,习惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角;
当k是奇数的时候,等式右边的三角函数发生变化,如sin变成cos。偶数则不变;
用角(k·π/2±α)所在的象限确定等式右边三角函数的正负。例:tan(3π/2+α)=—cotα
∵在这个式子中k=3,是奇数,因此等式右边应变为cot
又,∵角(3π/2+α)在第四象限,tan在第四象限为负值,因此为使等式成立,等式右边应为—cotα。三角函数在各象限中的正负分布
sin:第一第二象限中为正;第三第四象限中为负cos:第一第四象限中为正;第二第三象限中为负cot、tan:第一第三象限中为正;第二第四象限中为负。
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